LIMIT

LIMIT FUNGSI

 

A.     Limit Fungsi Aljabar

Pengertian limit fungsi aljabar merupakan pengertian dasar hitung differensial dan hitung integral. Lebih jelasnya pada contoh berikut ini.

Fungsi f didefinisikan sebagai

Jika variabel x diganti dengan 2 maka f (2) = , tetapi adakah bilangan yang akan didekati oleh f (x) jika nilai x mendekati 2? ................. oleh karena itu kita akan mempelajari masalah limit.

1.      Pengertian limit

a.  , jika untuk x yang dekat dengan a (tetapi xa) maka berlaku f (x) dekat dengan L.

1. Limit kiri fungsi, ditulis, berarti nilai fungsi f makin dekat dengan a dari sebelah kiri a.

b.      Limit kanan fungsi, ditulis, berarti nilai fungsi f makin dekat dengan a dari sebelah kanan a.

c.       Jika

2.      Pengertian limit secara matematis

 ada artinya

(lebih lanjut akan dijelaskan di bangku kuliah)

3.      Menentukan limit fungsi aljabar

3.1  Limit fungsi

Dengan cara substitusi langsung. Cara ini dilakukan dengan mensubstitusikan nilai-nilai x = a, ke dalam f (x), apabila didapat:

a.       f (a) = h, berarti

b.      f (a) =

c.       f (a) =

d.      , maka:

(1)   Bentuk f (x) difaktorkan sehingga  kemudian disubstitusikan lagi.

(2)   Bentuk f (x) dikalikan dengan sekawan pembilang dan atau penyebut sehingga  kemudian disubstitusikan lagi.

Selesaikan bentuk-bentuk limit di bawah ini!

1)                                                        2) 

Penyelesaian                                                        Penyelesaian

= 2.3 + 3 = 9                                       =

3)                                                        4)    (tak terdefinisi)

      Penyelesaian                                                        Untuk menyelesaikannya sebagai berikut:

      =                                  

5)  

      Penyelesaian

       (tak terdefinisi)

     

3.2  Limit fungsi

Bentuk yang dipelajari disini adalah bentuk:

a.       Untuk menyelesaikan dilakukan dengan cara membagi pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebut.

Hitunglah nilai

Penyelesaian

b.      Untuk menyelesaikan  dilakukan dengan caramengalikan sekawannya yaitu: , sehingga bentuk limitnya berubah menjadi:  kemudian dilakukan dengan cara yang pertama lagi.

            Hitunglah nilai

            Penyelesaian

           

3.3  Untuk n bilangan real berlaku rumus berikut:

2. Hitunglah                                          2.  Hitunglah

Penyelesaian                                                              Penyelesaian

=                         

3.4  

Berarti     1. Jika m < n, L = 0

               2. Jika m = n, L =

                        3. Jika m > n, L =

B. Teorema limit dan limit fungsi trigonometri

Dalam menentukan limit suatu fungsi,diperlukan suatu metode yang dapat memudahkan. Pada subbab ini disajikan beberapa teorema yang sangat berguna untuk menyelesaikan masalah menentukan limit suatu fungsi.

1.      Beberapa teorema limit untuk k konstanta,       

a bilangan real, f dan g fungsi yang memiliki                                     

limit di a, maka:

2.      Beberapa rumus limit fungsi trigonometri

1.      Diketahui

Hitunglah:

a.                                                          b.

Penyelesaian                                                                          Penyelesaian